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Ejercicio 10

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Unidad 1 - Números reales. Funciones

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Avatar Elyne 5 de agosto 20:02
Profe tengo 2 ejercicios que no sé como plantearlos porfavor me ayuda ya que estoy cursando la materia ...
1) Hallar el valor de k para que la recta de ecuación  ky+(k-2)x =15  sea perpendicular a la recta -3x+y+7=0
-Como respuesta me dieron que el valor de k=3 ( pero no se como lo hallaron)
 
2) Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta y=2x-5 por el punto P=(3,1) 
-Como respuesta me pusieron y= -1/2x + 5/2

Perdón que le escriba mucho.. gracias de antemano.
Avatar Julieta Profesor 7 de agosto 12:14
@Elyne Holis! Oh es que son muy lindos estos ejercicios! Bueno vamos con el primer ejercicio: 

Ejercicio 1) Acá te dan una incógnita que no es $x$, y te dan una condición que tiene que cumplirse: "que la recta de ecuación  ky+(k-2)x =15  sea perpendicular a la recta -3x+y+7=0"

Simplemente tenés que plantear la condición dada y despejar $k$. Pero.. ¿Cómo escribirías matemáticamente la condición que te dan? 

Bueno, te dicen que la recta de ecuación  ky+(k-2)x =15 tienen que ser perpendicular a esta otra recta -3x+y+7=0.

Y qué significa que dos rectas sean perpendiculares?? Que tienen pendientes opuestas e inversas. O sea: $m_1 = - \frac{1}{m_2}$. 

O sea, la condición que se tiene que cumplir es que $m_1 = - \frac{1}{m_2}$. 


En este caso te dieron las rectas escritas de forma fea, primero tenés que pasarlas a la forma convencional $y=mx+b$. 

   La primera recta es:

   $ky + (k - 2)x = 15$

   $ky = - (k - 2)x + 15$

   $y = -\frac{k - 2}{k}x + \frac{15}{k}$

donde la pendiente es $m_1 = -\frac{k - 2}{k}$


   La segunda recta es:

   $-3x+y+7=0$

   $-3x + y = -7$

   $y = 3x - 7$

donde la pendiente es $m_2 = 3$



Ahora usamos la  fórmula de pendientes perpendiculares: $m_1 = - \frac{1}{m_2}$:


$-\frac{k - 2}{k}= - \frac{1}{3}$

¿Ves? Esa es la condición que nos dieron. Que la pendiente de la primera recta tiene que ser perpendicular a la de la segunda recta. Es literalmente lo que acabamos de escribir con lenguaje matemático. Y fijate que ahpra solo tenés que hacer cuentitas para despejar $k$




Avatar Julieta Profesor 7 de agosto 12:18
@Elyne  Vamos con el segundo ejercicio. 

Ejercicio 2) Acá es mucho más fácil!! Porque te piden hallar la ecuación de la recta perpendicular a otra recta, pero esta otra te dieron la recta escrita en la forma convencional $y=mx+b$. Y además te dan un punto por el que pasa la recta que querés encontrar. O sea.. te dieron la pendiente (de forma camufladísima!) y un punto (3,1). Con esos datos te va a ser fácil hallar la recta. 


Lo primero es hallar la pendiente de la recta que querés encontrar. Y no te la dan directamente, sino que te dicen que la recta que es perpendicular a la recta $y=2x-5$.

Que sea perpendicular significa que: $m_1 = -\frac{1}{m_2}$ 

En este caso $m_2 = 2$, así que $m_1$ va a ser:

$m_1 = -\frac{1}{2}$ 


Ya tenés la pendiente de la recta que querés encontrar y un punto por donde pasa. Con eso solo queda que reemplaces los datos en la ecuación de la recta y listo!

Avatar Elyne 5 de agosto 12:20
Hola profe, tengo una consulta parecida a ejercicio del vídeo, 
pero me dicen :
- Hallar las ecuaciones de la recta que verifiquen las sgts condiciones:
a) Es paralela al eje x y pasa por el punto P=(2;-3)
b)Es paralela a la recta de la ecuación :  x  -  7/2 + y/2 = 0 , y pasa por el punto P=(1;-1)

Perdón que le mande el ejercicio pero me quede pensando como hacerlo...
Avatar Julieta Profesor 5 de agosto 15:50
@Elyne Hola Elyne! Ohh qué lindo ejercicio! Me gusta!!

Como en todo ejercicio de "hallar la recta" vos sabés que la ecuación es $y = mx+b$". Ahora bien.. como datos te tienen que dar dos puntos por donde pasa la recta, o bien, un punto y la pendiente.


Vamos con el ítem a) 

Te dan un punto ( P=(2;-3) ) y te dan de dato la pendiente de la recta, pero camuflada..  Porque te dicen que la recta es paralela al eje $x$.. ¿Te acordas del video de función lineal? El eje $x$ es una recta horizontal, no tiene pendiente. Y si tu recta es paralela al eje $x$ significa que su pendiente es la misma, ya que "rectas paralelas tienen la misma pendiente".


Ahora vamos con el ítem b)

El razonamiento es el mismo. Acá te dan un punto ( P=(1;-1) ) y te dan de dato la pendiente de la recta, pero camuflada.. Porque te dicen que tu recta es paralela a la recta x  -  7/2 + y/2 = 0  (que por cierto, está escrita super fea!! vas a tener que reordenarla para obtener la expresión $y=mx+b$).

O sea, este segundo ítem tiene un pasito extra, que es reescribir la función a la forma $y=mx+b$ para poder ver fácilmente quién es la pendiente: 

$x - \frac{7}{2} + \frac{y}{2} = 0$

Vamos a agrupar todo lo que tenga $y$ de un lado, y el resto del otro:

$\frac{y}{2} = \frac{7}{2} - x$

$y = 7 - 2x$

O sea que nos queda: 

$y = -2x + 7$


O sea que la pendiente es __________ (eso dejo que lo completes vos). 




Si te animás, con esto que te conté ya podés resolver el ejercicio y contarme qué tal te fue ☺️

Avatar Elyne 5 de agosto 18:55
@Julieta y=-2x+7 ; la pendiente es m=-2 !! gracias profe!!
Avatar Leiza 17 de agosto 22:10
cuando la incognita es X en el punto d se despeja para el lado izquierdo si o si? no entiendo porque es 8.(x-3) y no -2 que quedo solito arriba multiplicado por 8 y no se puede dejar x-3 del lado derecho...
Avatar Julieta Profesor 18 de agosto 18:48
@Leiza Ojo, no mires tanto el lado sino la operación que tenés que hacer para despejar x. ¿Dónde está la x? En el denominador, entonces tenés que llevarla al numerador. Para eso todo el paréntesis que contiene a la x tiene que pasar multiplicando del otro lado del igual (porque está dividiendo actualmente). El lado no influye, fijate:

Ésto:
8 = -2 / (x-3)
8(x-3) = -2  
x-3 = -2/8 
x-3 = -1/4 
x = -1/4 +3
x = 11/4

Es lo mismo que ésto: 
-2 / (x-3) = 8
-2 = 8(x-3)  
-2/8 = x-3  
-1/4 = x-3 
-1/4 +3 = x
 11/4 = x
Avatar Leiza 18 de agosto 21:16
Perfecto !!! me sirve el dato, mil gracias, una ultima consulta, cuando la incógnita es a, o sea pide averiguar el valor de a, pasa lo mismo, si esta en el numerador pasa a denominador y al revés?